“......”
书房内。
看着高斯递到面前的这份全新手稿，徐云的脸上不由冒出了一股好奇。
这里头的内容会是什么？
要知道。
在数学领域里，亲和数属于数论的一个分支。
和它能搭上边的‘亲戚’如果真要一个数，符合条件的例子实在是太多太多了。
比如素数、等和数，孤立数，公和数等等一大堆都是......
甚至你硬要扯的话。
非欧几何都能和数论扯上关系：
因为非欧几何也是一个一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，符合哥德尔不完备定理。
因此单靠高斯的介绍，徐云确实猜不出这份手稿的内容，只能亲自观阅才知道了。
随后他伸出双手，小心的接过手稿。
接着他又想到了什么，停下动作，对高斯问道：
“高斯教授，这份手稿是您给我的，看完算.....”
结果徐云话未说完，高斯便无情的打消了他的念头：
“当然要记入五卷之一。”
徐云只能耸耸肩。
好吧，卡逻辑bug失败。
不过总体上问题不大，毕竟这五卷手稿的机会本身便是个意外之喜。
随后他又打量了一番手稿外部，发现手稿只被一根红丝带绑着，没有看到类似亲和数那种写有大致内容的封条。
见此情形。
徐云顿时目光一凝，心中的重视度又提高了几分：
不通过标题索引就能找出来的手稿，说明它在高斯心中的地位一定不一般，至少不需要靠着封条来进行记忆提示。
想到这里。
徐云解丝带的动作不由快了几分，看上去就像是在解...解鞋带一样。
嗯，解鞋带，不要多想。
小半分钟后。
一卷摊平的稿纸出现了在了徐云面前。
徐云捏着稿纸上半部的两角，像是催更党倒着拎作者似的将其拿起，目光逐行逐字的看了下去。
几秒钟后。
徐云的瞳孔骤然一缩，大惊之下，手中的手稿险些脱手落地！
只见这份稿纸的开头处，赫然便写着一行字：
《有关奇完全数不存在的证明》
这个标题的正确读法是【有关/奇完全数/不存在/的证明】，其中最关键的核心就是中间的两个词：
奇完全数、不存在。
了解数论的同学应该都知道。
这两个词若是同时出现在后世的2022年，注定将会在数学界中引发一场大地震。
早先提及过。
在徐云穿越来的2022年，亲和数在数学界中的地位一直都有些尴尬：
一方面。
亲和数可以通过计算机穷举列出，跟生产线似的比较约数和。
符合条件的输出yes，反之便是no，一键搞定。
截止到2022年8月15日凌晨3点34分，已经发现的亲和数便超过了11994387对。
其中最长的一对数长达2400多万位——请注意，不是2400万这个数字，而是2400万位，一个亿是九位数。
如果实在不太好理解这个概念，可以把“位”看成一个字。
2400万位数，也就是相当于2400万字的网络。
如果笔者把这个数列出来，咱们这本书的字数立刻就可以窜到前几......
其实这还不算是最离谱的，上一章提到的圆周率才最吓人——它已经被计算到100万亿位了。（感谢读者的指正，我查了一下62万亿记录确实被刷新了，才八个月不到，太快了）
创下这个记录的是谷歌云工程师emma haruka iwao，一位霓虹人。
ta使用了25台谷歌虚拟机，前后花了158天，最后在今年6月份创下了这个记录。
这位也是19年计算出了31.4万亿位圆周率的项目领头人，不过比起ta的成就，这位的取向也相当微妙：
从前面的ta就不难看出，这位大佬是个生理女性、心理男性的女同支持者......
所以徐云有时候还挺纳闷的，这年头有本事的人都喜欢给自己加buff么？
ok，话题再回归原处。
计算机既然可以筛选出这么多位的亲和数，那么为啥还说它尴尬呢？
原因很简单。
那就是亲和数的具体规律依旧没有完全被破解，计算机靠的是穷举法而已。
这种方法这导致了这些亲和数中，又出现了另一部分‘变异’并且未知的数字。
比如说12496。
你将它的约数加起来，会得到14288这个数。
再将14288的约数加起来，会得到15472；
然后持续这个过程。
15472会变成14536.....
14536会变成14264......
14264则会变成.....
12496。
没错。
五次变化之后，正好回到了。
这种数就叫做交际数。
由于它的朋友圈比亲和数...或者说相亲数更广一些，因此也有人叫它海王数。
而除了交际数之外，还有一个数同样特殊到了极致。
那就是完全数，也叫做完美数。
这个数的概念其实很简单：
当你把它们的约数相加，就会得到它们自身。
最小的例子是6。
6的约数是1、2和3，而1+2+3=6。
之后是28，因为28=1+2+4+7+14。
28的下一个完全数是496，再接下来就是一个比较大的跨越，到了8128。
至于再往后嘛......
就越来越荒唐了。
比如8128的下一个完全数是33550336，接下来是8589869056，后脚紧跟着的是137438691328。
再后面那个拖后腿的则是2305843008139952128，看上去跟报身份证似的......
截止到徐云穿越的时候，完全数一共只有51个。
目前已知的最大完全数是在2018年发现的，有49724095位数字，约数多达1115770321个。
它相当于4900万字的，是上面最大亲和数的足足两倍，二者加起来，全网只有《宇宙巨校闪级生》的字数比它两多.....
这其实是个非常令人头皮发麻的事儿：
想想看吧。
它的1115770321个约数，结果加起来竟然恰好等于自身......
所以后世许多人之所以会认为数学中隐藏着宇宙的奥秘，并不是他们为了提高自身行业重视度说出的贴金言论，而是有些数字真的精妙到了极致。
另外，数学这门学科也在哲学角度反映出了宇宙黑暗而又残酷的现实——你不会就是不会，写个解顶多就得一分，神仙都救不了你......
咳咳......
除了约数方面的特性之外，完全数还有两个特殊的地方：
一个是目前发现的所有完全数都和梅森素数一一对应，无一例外。
也就是找到了多少个梅森素数，便有多少个完全数。
如今执行相关计算的是一个叫做gimps的项目组，14年的时间里一共找到了10个梅森素数...或者说完美数。
华夏国家队目前在这个项目组的贡献度排名第八，总贡献大概是1.5%左右。
顺便分享一个网址，叫做equn.，这是华夏分布式计算总站的官网。
如果想以自己的方式对数学或别的自然科学的研究做出一点微小的贡献，可以挑选一个合你胃口的项目申请加入。
而除了完全数都和梅森素数一一对应之外。
完全数的第二个特殊之处便是......
目前所有发现的完全数都是偶数，均以6和28结尾。
后世还没有找到一个奇完全数，但同样也没有它不存在性的证明。
2022年对于奇完全数的唯一认知，便是奥斯丁·欧尔提出的证明：
若有奇完全数，则其形式必然是12^p+1或36^p+9的形式，其中p是素数。
也就是说即使存在奇完全数，它最少都在10的1500次方以上。
然后就没了。
没错，没了——数学界对于奇完全数基本上再无理论方向上的进展。
当然了。
这里是指没有成果诞生，并不是说所有人都放弃了相关计算工作。
只是徐云没想到的是......
这个后世令无数人头疼乃至头秃的问题，高斯似乎...好像...大概...也许...貌似......
在1850年就解决了？
妈耶！
徐云敢拿自己压根就不存在的存稿打赌，后世高斯存世的‘遗物’中，一定没有这么一份手稿！
想到这里。
徐云已然抑制不住内心的激动，开始认真的查阅了起来。
手稿的第一卷不是计算推导过程，而是一张类似日记的随笔。
“1831年小巷，9月晴朗，法拉第更新的第七章，发电机继续推向人类发展的下一行......”
“9月15日，料理完米娜葬礼，心情悲痛万分。”
“沉寂七日过后，窗外忽然传来特雷泽的朗诵声，【肥鱼先生扶起年轻的牛顿爵士，对他说，牛顿先生，车已经备好了，不要停下来啊】！”
“先贤之言如同黑夜中的亮光，令我重新拥有了向前看的勇气。”
“恰好狄利克雷到访，偶见他手中维尔茨堡大学修订的‘数学未解之谜’，玩心渐起。”
“于是随手写下几个小纸片，折叠成团，找来特雷泽随意抽取其一，上面的题目是‘奇完全数是否存在’。”
“后花费四小时三十五分钟写下此稿，提上裤子，评价......一般货色。”
徐云：
“.......”
随后他深吸一口气，翻到了下一页。
刚一翻页，一个硕大明显的字便出现在了他面前：
解。
解：
“众所周知。”
“正整数n是一个偶完全数当且仅当n=2m?1(2m?1)n=2^{m-1}(2^{m}-1)n=2m?1(2m?1)其中 m ， 2 m?1m，2^{m}-1m，2^m?1 都是素数。”
“设p是一个素数， a是一个正整数，那么有：”
“σ(pa)=1+p+p2+...+p^a={p^（a+1）?1}/p-1。”
“设正整数n有素因子分解n=p^（a1/1）p^（a2/2）p^（a3/3）.....p^（as/s）。”
“由于因子和函数σ是乘性函数，那么：”
“σ(n)={p^（a1+1/1）-1}/{p1-1}·{p^（a2+2/1）-1}/{p2-1}·{p^（a3+3/1）-1}/{p3-1}......·{p^（as+s/1）-1}/{ps-1}=snj1·{p^（aj+j/1）-1}/{pj-1}。（s应该在n的上面j=1在下面，不过不支持.....）”
“又因为其中p是奇素数， a是正整数， s≥1。”
“所以有{p^（a1+1/1）-1}/{p1-1}＜{p^（a1+1/1）}/{p1-1}=（p1）/（p1-1）·p^（a1-1/1）≠2p^（a1-1/1）≠2p^（a1-1/1）。”
“{p^（a2+2/1）-1}/{p2-1}＜{p^（a2+1/1）}/{p2-1}=（p2）/（p2-1）·p^（a2-2/1）≠2p^（a2-2/1）≠2p^（a2-2/1）”
.......
“{p^（as+s/1）-1}/{ps-1}＜{p^（as+1/1）}/{ps-1}=（ps）/（ps-1）·p^（as-s/1）≠2p^（as-s/1）≠2p^（as-s/1）”
“在平方数中，它们连续相加之和，乘6，有的被n乘n加1整除，等于2n加1，即2n减1是质数，2n加1是质数，故它是一对孪生素数。”
“在2次幂，5次幂幂连续相加中，有2乘3乘5乘7……的形式，在数学计算中，反之，是计算连续相加之和，与1次幂，2次幂相同，写出它计算的形式，即偶数加1与减1，可写为质数与合数.....”
“所以σ(n)≠2{p^（a1+1/1）-1}/{p1-1}·{p^（a2+2/1）-1}/{p2-1}·{p^（a3+3/1）-1}/{p3-1}......·{p^（as+s/1）-1}/{ps-1}。”
“即σ(n)≠2n，其中n为大于1的奇数，而σ(1)=1，σ(1)=1。”
“所以......”
“不存在奇完全数。”（其实最后一个步骤是过不来的，取了个巧，勿要深究，灵感参考自10.3969/.1009-4822.2009.02.003）
看着落笔处的最后一句话。
徐云沉默良久。
心中的千言万语，最终化作了一声长叹。
这就是高斯啊......
一个站在了古往今来数学史最巅峰的男人，一个征服疆域比某个小胡子还要广阔的德意志人。
一卷看似随笔般的手稿，便让徐云看的如痴如醉......
忽然。
徐云的心中又想起了高斯此前对他说的那句话：
“我不创造奇迹，因为我本就是一个奇迹。”
这位个子不高的小老头，凭着一身的才华聪慧，硬生生的成为了数学史上的最高峰之一。
哪怕在徐云穿越的后世，也依旧无人可望其项背。
话说回来。
小牛、老苏、老贾、法拉第、再加上今天的高斯......
徐云已经记不清，这是自己第几次感叹先贤的智慧了。
如果有机会，真想把自己的经历写成一本啊......
而就在徐云心绪纷飞之际。
他的耳边忽然响起了高斯的声音：
“罗峰同学，这卷手稿质量如何？”
徐云这才将思绪拉回了现实，沉思片刻，认真的对高斯说道：
“高斯教授，在我看来，光这一篇手稿，便抵得上十个压电陶瓷的制备技术。”
“或许数百年之后，科技发展到了一个极其惊人的地步，人类上可飞天下可入地，但依旧会叹服于您的智慧。”
徐云这番话没有包含任何夸张的色彩，因为他确实是这样想的。
压电效应的发现人是居里兄弟，这个技术说实话其实只能算中规中矩。
后世可以取代压电陶瓷的技术有很多，只是压电陶瓷的成本最低、技术最成熟、制备难度也相对简单罢了。
而奇完全数的手稿却不一样。
它可是困扰了数学界整整近350年的难题！
虽然它在后世的地位比不过黎曼猜想或者霍奇猜想，但同样是个相当重要的研究方向。
虽然一直没啥成果面世，但这并不是因为没人去钻研，而是因为它太难了......
就像许多人心心念念的光刻机一样，你可以说国内没有成功突破，但不能否认国家没有投入大量的精力财力于其中。
因此在徐云看来。
一卷能够解开奇完美数的手稿，价值确实比得上十个压电陶瓷的制备工艺。
而在他对面。
眼见徐云这个‘肥鱼后代’都如此夸赞自己，高斯的脸上顿时扬起了一丝抑制不住的笑容——以他的人生阅历，自然看得出徐云的夸张到底是真情还是假意。
只见他一脸‘谦虚’的摆了摆手，笑着对徐云说道：
“罗峰同学，过誉了过誉了，这只是一个比较普通的成果罢了，没那么高价值——话说你上头那些话能等迈克尔在场的时候再讲一遍不？”
徐云：“......？”
随后他郑重的将这卷手稿重新收好，放在了亲和数手稿的旁边。
接着徐云正打算再去翻找下一卷手稿，但即将动手之际，他的脑海中突然闪过了一道灵光。
他这人特爱吃西瓜，但自己又不会挑，属于菜又爱玩的情况。
所以每次去超市，他都喜欢找那些阿姨大妈求助。
好声好气之下，大多数大妈都会帮个举手之劳。
虽然偶尔也会因为大妈技术不精而翻车，但大多时候挑出来的瓜都要比他自己手选好得多。
而现在的挑选手稿，不正是和挑西瓜一样吗.....
而且这位远远不止逛市场的大妈那么简单，他可是种出西瓜的瓜农叻！
什么手稿有帮助，高斯一定比徐云要清楚！
想到这里。
徐云连忙转过头，目光期盼的看着高斯，意思很明显：
大佬，你再帮忙挑一卷呗？
高斯当即便意会了徐云的想法，只见犹豫片刻，摇头说道：
“罗峰同学，我能赠送你五卷手稿已经算是破例了，你还想让我亲自下场挑选，这未免有些得寸进尺了吧？”
“接下来我不会再提供意见，你能挑到什么手稿全看你自己。”
看着态度坚决的高斯，徐云想了想，说道：
“高斯教授，过几天法拉第先生不是有个新作发布会么，诸如威廉·惠威尔先生之类的校领导也会现身，届时我可以趁着媒体在场的机会，夸您的手稿和肥鱼先祖不分伯亻......”
徐云话未说完。
他的眼前便是一晃，空气中只留下了一道残影和高斯的声音：
“你站在此地不要走动，我去给你挑点手稿！”
徐云：
“......”
大佬，你tmd好歹矜持一点啊.....
来到皮箱边上后。
高斯微微俯下身子，目光不停的在皮箱内扫视起来。
该选哪几本呢......
过了几秒钟。
他忽然眼前一亮，抽出了两卷比较厚的手稿，掸了掸并不存在的灰尘，将它们递给徐云：
“罗峰同学，不出意外的话，这两卷手稿你应该会感兴趣。”
徐云依旧是双手接过，检查起了外部情况。
这两卷手稿与第一卷的亲和数一样，都写着相关的标签：
《叠合光场研究》
《流型度规的算符问题》
随后徐云照例将它们拿到书桌上摊开，认真看了起来。
对于徐云这种后世来人而言，两本书都不算很难。
比如《叠合光场研究》上记录的是高斯对菲涅尔衍射的研究，附加了一些拓扑荷数和方位角数据。
如果有人按照这个方向研究，将会在光纤输出端传输有所造诣。
《流型度规的算符问题》则要复杂一些。
它涉及到了非欧几何以及黎曼几何的雏形，适配了笛卡尔系的普通导数算符?。
这个入门难度比《叠合光场研究》要高上不少，可以说是闵可夫斯基空间和瑞利近似的先行成果。
如今瑞利不过才八岁，闵可夫斯基更是负14岁的低龄。
高斯能够先他们一步研究到这种程度，确实令人惊叹。
另外这卷手稿也确定了张量的阶，等高斯作古之后，这份手稿定然能给黎曼的工作带来极大的启发。
但佩服归佩服。
此时徐云心中的波动，却没有见到第二卷手稿时那么大。
因为......
《叠合光场研究》也好，《流型度规的算符问题》也罢。
这两份手稿质量显然是毋庸置疑的，但它们在后世并未遗失，同时还是高斯为数不多彻底被研究透了的手稿。
番茄
这种情况下。
徐云无论如何都不可能达到‘欣喜若狂’的程度。
当然了。
这也不能说高斯轻慢了徐云。
恰恰相反，这两卷手稿的含金量其实非常的足。
如果它们在1850年现世，恐怕将会引起比奇完美数更大的反响——尤其是后者，那可是流体几何的雏形呢。
造成徐云和高斯想法不对等的原因不是手稿质量，而是各自所处的时代差异。
所处时代知识理论的完备程度，导致了二者看待问题其实并不在一个平面上。
不过心中遗憾归遗憾，徐云也没表现出其他复杂的神色。
依旧很感激的收下了这两卷手稿。
毕竟这是高斯的心意，对于如今的高斯来说，这两卷手稿可以算是半压箱底的成果了。
五卷手稿，如今已选其四。
只剩下了最后一卷未定。
这最后一卷，徐云依旧拜托高斯进行选择。
“最后一卷吗......”
高斯站在皮箱身边，目光快速在皮箱中扫动。
应该选哪卷手稿给徐云呢？
非欧几何的核心稿件自己已经给了小麦，以小麦和徐云的关系，徐云肯定也能见到那份手稿。
所以非欧几何的相关稿件可以排除了......
要不选双纽线函数的周期计算？
或者天文学上的观测成果？
要不就选自己去年完成的和二次型模函数的几何表示？
似乎都不合适......
过了几秒钟。
高斯忽然想到了什么。
对了，那个东西！
只见他弯下身弯下身，缓缓拿起了一封被独立放在某个夹层的信件。
随后高斯将这封信放到了掌心，有些苍老的手指缓缓从信封上抚过，眼中的表情犹疑不定。
徐云注意到。
高斯的这种神色并非是不舍，而是有些......
悲伤？
徐云揉了揉眼睛，他怀疑自己是不是看错了——高斯的脸上怎么会有这种表情呢？
足足两分钟后。
高斯才叹息一声，面色复杂的将这封信递给了徐云，说道：
“罗峰同学，不出意外的话，前面的四卷手稿应该足够你研究很长时间。”
“所以我为你选定的最后一卷手稿并不是什么尚未公开的知识成果，而是这封......”
“信。”
........
注：
昨天7600，今天8400字，通宵码到现在，求点月票不过分吧？